نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه فیزیک هسته‌ای، دانشکده فیزیک، دانشگاه تبریز، صندوق پستی: 51664، تبریز ـ ایران

چکیده

در این مقاله رفتار آماری هسته‌­های تغییر شکل ­یافته­ محوری با استفاده از نظریه­ ماتریس‌­های تصادفی مورد بررسی قرار گرفت. برای این هدف، علاوه بر استفاده از اطلاعات تجربی موجود، ترازهای انرژی باندهای پایه، بتا و گامای تعداد 51 هسته تغییر شکل­ یافته زوج– زوج با استفاده از مدل اندرکنش بوزونی و در چارچوب حد تقارن دینامیکی جزیی (3)SU محاسبه گردید. نتایج حاصل توانایی مدل انتخابی برای بازیابی اطلاعات تجربی و همچنین
جابه‌­جایی باندهای انرژی بتا و گاما را تأیید می‌­کنند. هم­چنین وابستگی رفتار آماری ترازهای انرژی به عدد جرمی هسته‌­ها، اسپین، نیمه‌­عمر حالت پایه، باندهای انرژی و پیکربندی‌­های مختلف باندهای انرژی برانگیخته مورد ارزیابی قرار گرفت. نتایج حاصل، وجود اختلاف در رفتار آماری ترازهای انرژی باندهای مختلف و هم­چنین محدوده­‌های جرمی را به­ روشنی نشان می‌­دهند. هم­چنین جابه‌­جایی ترازها و قرار گرفتن تراز در انرژی پایین‌­تر از تراز سبب کاهش میزان هم­بستگی در رفتار آماری هسته‌­ها خواهد شد.

کلیدواژه‌ها

عنوان مقاله [English]

Investigation of the effect of the displacement of energy levels on spectral statistics of deformed nuclei

نویسندگان [English]

  • S.Kh. Mousavi Mobarake,
  • H. Sabri
  • A. Jalili Majarshin

Department of Nuclear Physics, Faculty of Physics, University of Tabriz, P.O.Box: 51664, Tabriz –Iran

چکیده [English]

In this paper, the spectral statistics of prolatedeformed nuclei are investigated by using random matrix theory. To this aim, we used both available experimental data and also the energy levels of ground, beta, and gamma bands of 51 deformed even-even nuclei, which are determined via partial SU(3) dynamical symmetry limit of interacting boson model. The results verified the ability of the considered models in the restoration of experimental data and also the displacement of beta and gamma energy bands. Also, the dependence of the statistical situation of energy levels is considered to the mass of nuclei, spins, half-lives of the ground state, bands of energy, and different configurations of excited bands of energies. The results suggested obvious differences in the spectral situation of the levels in different rotational bands and also different mass regions. Also, the displacement of levels and the lower energy of  state in comparison with level reduce the correlation of levels in spectral statistics.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Random matrix theory (RMT)
  • Interacting boson model (IBM)
  • Partial SU(3) dynamical symmetry
  • Deformed nuclei
  • Bands of energy

1. مقدمه

هسته­های تغییر شکل­یافته و نوارهای دورانی موجود در آن به دلیل توصیف نشانه­هایی از ترکیب تقارن­ها و هم­چنین نمایش ترکیب مدهای ارتعاشی و دورانی، موضوع بسیاری از مطالعات سال­های اخیر بوده است. مدل­های مختلف مبتنی بر دیدگاه هندسی بوهر– ماتلسون[1] ]1-3[، مدل­های مبتنی بر حل دقیق با استفاده از نظریه میدان[2] ]4-5[ و مدل­های جبری از جمله مدل اندرکنش بوزونی[3] ]6-10[ برای توصیف ویژگی این هسته­ها توسعه یافته­اند. ویژگی عمومی همه این رهیافت­ها توصیف باندهای انرژی بتا و گاما به­صورت تبهگن می­باشد. روش­های مختلف از جمله اضافه کردن عدد کوانتومی جدید K در مدل بوهر– ماتلسون، اضافه کردن پتانسیل اندرکنشی در نظریه میدان و استفاده از تقارن­های دینامیکی جزیی در مدل اندرکنش بوزونی روش­های موجود برای حذف این تبهگنی می­باشند. حد تقارنی (3)SU به­همراه مجموعه تقارن­های دینامیکی جزیی در مدل اندرکنش بوزونی، چارچوب مناسب برای توصیف ویژگی­های هسته­های تغییر شکل­یافته می­باشد که ضمن حذف تبهگنی باندهای انرژی دورانی برانگیخته، امکان توصیف طیف انرژی تجربی هسته­ها را فراهم می­کند.

نظریه ماتریس­های تصادفی[4] پرکاربردترین روش برای بررسی ویژگی­های آماری سیستم­های مختلف است. انطباق توزیع آماری طیف انرژی یا احتمال گذارهای الکترومغناطیسی سیستم­های هسته­ای با گروه­های[5] رایج این نظریه، امکان پیش­بینی تقارن­های موجود در سیستم­ها را فراهم می­آورد. وابستگی هم­بستگی آماری ترازهای انرژی سیستم­های هسته­ای مختلف به پارامترهایی هم­چون طول عمر تراز، پیکربندی ترازها، مقدار انرژی و ... در مطالعات مختلف ارزیابی شده است. نتایج حاصل وجود رابطه مشخص بین تأثیر پارامترهای مختلف بر هم­بستگی آماری هسته­ها را نشان داده است ]11-20[.

در این مطالعه، رفتار آماری طیف انرژی هسته­های
زوج- زوج تغییر شکل­یافته در محدوده جرمی 250 >A>152 مورد تحلیل قرار گرفته است. دنباله­[6]های آماری مختلف با استفاده از اطلاعات تجربی ]21-22 [و هم­چنین نتایج حاصل از محاسبات نظری در قالب مدل دینامیکی جزیی (3)SU تشکیل گردید. وابستگی هم­بستگی آماری ترازهای انرژی مختلف در باندهای پایه، گاما و بتا بررسی شده و تأثیر عوامل مختلف از جمله جرم، اسپین و... بر این رفتار آماری ارزیابی گردید.

 

2. روش­ها

2.1 مدل دینامیکی جزیی(3)SU

مدل­های مبتنی بر طیف انرژی جبری چارچوب مناسبی را برای بررسی تقارن­های مهم در سیستم­های بس­ذره­ای فراهم می­آورند. طی سه دهه اخیر، تقارن­های دینامیکی به طور گسترده­ای در بسیاری از سیستم­های پیچیده به کار گرفته شده­اند که منجر به نتایج و دستاوردهای مهم در شاخه­های مختلف علوم از جمله مدل اندرکنش بوزونی در فیزیک
هسته­ای شده­اند. تقارن­های دینامیکی را می­توان به منزله حالت­های تکامل­یافته و اصلاح شده مفاهیم تقارنی درنظر گرفت. نظریه تقارن­های دینامیکی جزیی به­منظور توسعه و تکمیل مفاهیم تقارن­های مطلق و تقارن­های دینامیکی مطرح شده­اند. این نظریه­های تقارنی علاوه بر این­که برخی از محدودیت­های ناخواسته موجود در نظریه­های جبری را از بین می­برند، برخی از جنبه­های سودمند و مفید تقارن­های دینامیکی را به­منظور مطالعه تأثیرات شکست تقارنی در یک چارچوب کنترل شده حفظ می­کنند. یکی از جنبه­های مهم تقارن­های دینامیکی جزیی توانایی آن­ها در فراهم نمودن یک ابزار کاربردی و عملی برای محاسبه مشاهده­پذیرها در
سیستم­های واقعی می­باشد. مفاهیم کلی و الگوریتم ساخت هامیلتونین­های با تقارن دینامیکی جزیی در حدود تقارنی متفاوت مدل اندرکنش بوزونی در مرجع ]9 [بررسی شده است. از طرفی ارتباط بین پیش­بینی­های تقارن دینامیکی جزیی با بیناب­نمایی هسته­های تغییر شکل­یافته محوری در مراجع
]8-10[ بررسی شده­اند که با توجه به توافق مناسب بین نتایج این مدل با داده­های تجربی، این هسته­ها را به­عنوان نمونه مناسبی برای نمایش تقارن دینامیکی جزیی معرفی می­نماید.

مدل اندرکنش بوزونی در سال 1971 توسط یاکلو و آریما[7] برای توصیف ویژگی­های مختلف هسته­های زوج– زوج معرفی گردید. این مدل بر پایه نظریه گروه­ها و مجموعه عملگرهای جبری تعریف شده و در ساده­ترین شکل، تمایزی بین پروتون و نوترون قائل نمی­شود [6-7]. با تعریف بوزون به­صورت نصف تعداد نوکلئون­های بیرون لایه بسته، دو بوزونs و dبرای انتقال تکانه­هایی به بزرگی 0 و 2[8] انتخاب و جبر این مدل منطبق بر گروه تقارنی (6)U حاصل می­شود. این مدل دارای سه حد دینامیکی (5)U، (6)SO و (3)SU می­باشد که
به­ترتیب برای توصیف هسته­های کروی، تغییر شکل­یافته پادمتقارن و تغییر شکل­یافته محوری استفاده می­شود. تقارن دینامیکی (3)SU یک ساختار تقارنی مناسب برای بررسی و توصیف هسته­های تغییر شکل­یافته محوری می­باشد. مطالعات اولیه برای بررسی ساختار این دسته از هسته­ها توسط ایلیوت در قالب مدل هندسی تجمعی صورت پذیرفته است [4]. از طرف دیگر، هسته­های تغییر شکل­یافته محوری در چارچوب مدل اندرکنش بوزونی توسط یک چرخنده متقارن با نوارهای بتا و گامای تبهگن توصیف می­شوند. در نمایش تقلیل­ناپذیر (3)SU، به ازای هر  انتخابی، هر مقدار  Kمعرف یک باند دورانی است و حالت­های با L یکسان در باندهای K مختلف تبهگن می­باشند. پایین­ترین نمایش تقلیل­ناپذیر (3)SU، (0 و N2) می­باشد که باند پایه (0 = K) g هسته­های تغییر شکل­یافته را توصیف می­نماید (N نشان­دهنده تعداد کل بوزون­های سیستم یا همان نصف تعداد نوکلئون­های بیرون
لایه بسته است). اولین حالت برانگیخته نمایش تقلیل­ناپذیر (3)SU، (2، 4-N2) است که شامل هر دو باند انرژی برانگیخته  و  می­باشد. این تبهگنی ناخواسته باندهای بتا و گاما که ویژگی مشخصه حد (3)SU در مدل اندرکنش بوزونی می­باشد را می­توان با افزودن جملات اضافی از زنجیره­های دیگر به هامیلتونین (3)SU از بین برد. در چارچوب مدل اندرکنش بوزونی با اندرکنش­های حداکثر دو جسمی چنین شکست تقارنی، توسط وارنر، کستن و دیویدسون[9] پیشنهاد داده شده است [8]. در این رهیافت، یک سری جملات از زنجیره­های دیگر تقارنی مدل اندرکنش بوزونی به هامیلتونین حد (3)SU افزوده می­شود؛ تقارن (3)SU به­طور کامل شکسته شده و تمامی ویژه­حالت­ها در هم مخلوط
می­شوند و هیچ­یک از ویژگی­های مفید تقارن­های دینامیکی باقی نمی­ماند. در مقایسه با این روش تقارن دینامیکی جزیی (3)SU مطرح می­باشد که توسط لوییاتان[10] پیشنهاد داده شد [9]. تقارن دینامیکی جزیی (3)SU متناظر با نوع خاصی از شکست تقارن (3) SUاست که در آن ویژگی­های مفید
تقارن­های دینامیکی از قبیل حل­پذیری و . . . برای بخشی از سیستم هم­چنان حفظ می­گردد. هامیلتونین تقارن دینامیکی (3) SUمتشکل از یک ترکیب خطی از عملگرهای کازیمیر گروه­های (3)SU و (3)O است. در حالی­که هامیلتونین تقارن دینامیکی جزیی (3)SU با اندرکنش دو ذره­ای در چارچوب مدل اندرکنش بوزونی به شکل زیر تعریف می­شود [9-10]:

 

(1)

 

در این رابطه هامیلتونین با تقارن جزیی برای اندرکنش­های دو ذره­ای می­باشد. عملگرهای  و  عملگرهای جفت بوزونی، به­ترتیب با تکانه­های زاویه­ای   در مدل اندرکنش بوزونی و  نیز معرف عملگر کازیمیر گروه (3)O هستند. برای حالت ، هامیلتونین  به­عنوان اسکالر (3)SUو برای حالت ،این هامیلتونین به­صورت یک تانسور(2 و 2)= از (3) SU می­باشد. علی­رغم این­که  اسکالر حد دینامیکی (3)SU نیست، دارای یک زیرمجموعه کامل از حالت­های قابل حل با تقارن خوب (3)SU است. از طرفی جمله دورانی (3) O افزوده شده که باعث تبدیل شدن تقارن جزیی (3) SUبه تقارن دینامیکی جزیی این حد شده و سبب ایجاد جداشدگی در ترازهای انرژی به­صورت (1+L)L می­شود. البته این جمله هیچ­گونه تأثیری روی توابع موج نداشته و باعث از بین رفتن تبهگنی ناخواسته بتا- گاما در طیف انرژی
می­شود. جزییات کامل هامیلتونین تقارن جزیی (3)SU در منابع [9-10] در دسترس بوده و در این پژوهش تنها به بررسی اجمالی آن پرداخته شده است.

حالت­های قابل حل هامیلتونین (1) که هم­چنان تقارن خود را حفظ می­کنند، اعضای نوارهای پایه (0 = K) g و گاما   می­باشد که به­صورت زیر بیان می­شوند:

 

 

و

 

 

حال با اثر هامیلتونین (1) بر روی این حالات، ویژه­مقادیر انرژی برای ترازهای باند پایه

 

 

 

و باند گاما

 

 

 

حاصل می­شوند. در خصوص باند بتا، با اثر متفاوت جمله دوم در هامیلتونین (1) و در نتیجه حذف تبهگنی ذاتی نسبت به باند گاما، طیف انرژی به­صورت

 

 

 

تعیین می­گردد. سه ثابت 0C, hو 2hبا استفاده از روش­های برازش و در مقایسه با آخرین اطلاعات تجربی در دسترس برای ترازهای انرژی هسته­های مختلف تعیین می گردند. توانایی این مدل در بازیابی نتایج تجربی هسته­های مختلف، مزایای استفاده از این چارچوب را برای مطالعه طیف انرژی هسته­های تغییر شکل­یافته محوری نمایش می­دهد. در ادامه و بخش نتایج، مقادیر ثابت­ها برای هسته­های انتخابی تعیین خواهد شد.

 

2.2 نظریه ماتریس­های تصادفی

نظریه­ ماتریس تصادفی به­عنوان ابزار اصلی برای توصیف پراکندگی ویژه­مقادیر انرژی برای سیستم­های کوانتومی که حد کلاسیکی آن­ها نامنظم است استفاده می­شود [11-20]. طیف هسته­ای غالباً با استفاده از آنسامبل­های استاندارد هامیلتونین، که بر اساس مفاهیم اساسی نظریه­­ اطلاعات حاصل شده­اند، توصیف می­گردد. این رهیافت منجر به انطباق مناسبی با نتایج تجربی مشاهده شده برای افت وخیزها در سیستم­های هسته­ای و البته سایر سیستم­های پیچیده می­شود. انحراف اساسی از رفتار منظم  بر پایه دافعه بین ترازی توصیف می­شود. از طرفی، دافعه­ی بین ترازی و از بین رفتن رفتار آماری منظم حاصل از آن بر پایه مفاهیم تقارنی و رفتار جمعی هسته­ها توصیف شده و اطلاعات مفیدی از ساختار سیستم به دست می­دهد.

برای طبقه­بندی رفتار آماری سیستم­های مختلف با استفاده از پیش­بینی­های نظریه ماتریس تصادفی، آمارهای مختلفی هم­چون تابع توزیع نزدیک­ترین فاصله بین ترازی[11] [11]، آمار  دایسون- مهتا [12] و ضرایب خطی بین ترازهای متوالی [14] مورد استفاده قرار گرفته است؛ در این میان توزیع نزدیک­ترین فاصله بین ترازی پرکاربردترین انتخاب می­باشد. برای توصیف توزیع ترازها و هم­بستگی آن­ها مستقل از چگالی ترازها، فرایند واپیچش[12] صورت می­پذیرد. نتیجه این فرایند تولید دنباله­ای از داده­های سیستم مورد مطالعه با میانگین  واحد است. از طرفی شرط اساسی کاربرد نظریه ماتریس­های تصادفی، تشابه ویژگی­های تقارنی مؤلفه­های دنباله انتخابی است که در نتیجه لازم است حتماً از ترازهایی با اسپین- پاریته مشابه استفاده شود. عدم وجود تعداد حداقل 25 تراز با اسپین-پاریته مشابه (تعداد کمینه برای یک ارزیابی آماری قابل اطمینان) در هر هسته انتخابی، ترکیب اطلاعات مجموعه ترازهای هسته­های مختلف را اجتناب­ناپذیر می­نماید که در ادامه و بخش نتایج به­صورت کامل توضیح داده خواهد شد. قدم بعدی به دست آوردن توزیع نزدیک­ترین فاصله­ بین ترازی است که با P(s) نشان داده می­شود. معنای این توزیع، احتمال وجود فضا یا تراز در فاصله­ بین دو تراز واپیچش شده­ متوالی در بازه s و s+ds است [17]. فضای بهنجار شده­ای که در توزیع
نزدیک­ترین فاصله بین ترازی استفاده می­شود به صورت زیر است [11]:

 

 

که در آن D میانگین فضای بین لایه­های انرژی است. توزیع P(s) احتمال قرار گرفتنsi در بازه­  می­باشد. در سیستم­های هسته­ای که طیف انرژی آن­ها هم­بستگی نشان می­دهد، تابع توزیع نزدیک­ترین فاصله بین ترازی منطبق بر توزیع ویگنری (گاوسی) [11] به شکل

 

 

می­باشد. از سوی دیگر سیستم­های غیرهم­بسته با توزیع پواسونی توصیف می­شوند:

 

 

 

مطالعات متعدد صورت گرفته بر طیف انرژی سیستم­های هسته­ای وجود رفتار بینابینی بین دو حد مذکور را نشان
می­دهد. برای توصیف این شرایط، توابع توزیع مختلفی پیشنهاد شده است [14-16] که تابع توزیع بری-روبنیک[13]

 

 

 

به­دلیل تعریف بر اساس مفاهیم فیزیکی مبتنی بر دافعه بین ترازی، رایج­ترین انتخاب برای ارزیابی موقعیت آماری دنباله­های مختلف می­باشد. این تابع توزیع به ازای 0 q =حد گاوسی
(هم­بسته) و 1q =  حد پواسونی (غیرهم­بسته) را توصیف
می­نماید. تعیین پارامتر هر تابع توزیع با استفاده از روش­های تخمین هم­چون برازش کمینه مربعات[14] [13] و روش تخمین بیزین[15][14] صورت پذیرفته است. این روش­ها خطای بالا و هم­چنین جواب­های غیرقابل­قبول در برخی ازدنباله­ها را به همراهدارند که برای حل این مشکل می­توان از روش تخمین بیشبنه شانس[16] استفاده کرد. روش کار و برتری­های این روش در مقایسه با سایر روش­های تخمین در مرجع ]17[ موجود است. در پژوهش حاضر تنها از نتایج این روش استفاده خواهد شد.

 

3. نتایج

3.1 طیف انرژی

هدف این مقاله الف) بررسی توانایی مدل دینامیکی جزیی (3)SU در توصیف طیف انرژی هسته­های تغییر شکل­یافته­ محوری و ب) بررسی رفتار آماری این هسته­ها در قالب
دنباله­های مختلف و وابستگی هم­بستگی آماری آن­ها به پارامترهای فیزیکی بوده است. بدین­منظور تعداد 51 عدد هسته تغییر شکل­یافته محوری مطابق با پیش­بینی­های موجود در مقالات و هم­چنین شرط نسبت ترازهای انرژی به­صورت 33/3  می­باشد که روش معمول برای طبقه­بندی هسته­ها در مدل اندرکنش بوزونی است. با استفاده از روابط (a3) تا (b3) و تعیین ثابت­های مربوطه در مقایسه با اطلاعات تجربی ]2-21 [ترازهای باندهای مختلف دورانی، ترازهای انرژی تعیین گردید.  نتایج در جدول 1 فهرست شده است. هم­چنین کمیت  به­عنوان معیار ارزیابی دقت محاسبات مدل به­صورت

 

(6)                            

 

تعریف می­شود. در این مطالعه 7=N معرف تعداد کل ترازهای انتخابی، یعنی  ، ، ، ، ، و  می­باشد.

جدول 1. هسته­های تغییر شکل­یافته زوج- زوج مطالعه شده. مقادیر همه ثابت­ها بر حسب keV می­باشد. علامت* برای برخی از هسته­ها نشان­دهنده قرار گرفتن ترازهای باند بتا پایین­تر از باند گاما در طیف تجربی می­باشد.

هسته

0h

2h

C

σ

         72/3          92/8           02/ 23          13/114

         85/7          28/9           40/ 15          21/98

         11/4          05/7           10/ 22          30/109

         03/6          10/8           07/ 11          84/105

          21/6          12/9           29/ 11          14/119

          38/9          24/6           11/ 13          36/97

          04/11        90/3           19/ 22          14/107

         22/5          45/6           09/ 18          32/99

         14/9          95/3           34/ 16          62/107

         44/12        11/5           07/ 11          22/117

         23/6          11/4           35/ 11          30/129

          41/6          14/5           34/ 21          64/115

          95/6          12/8           04/ 18          28/124

          82/7          14/5           22/ 17          30/117

          81/9          26/4           12/ 14           40/99

          04/7          11/4           59/ 11           34/112

         01/4          17/4           11/ 16           66/127

          14/7          02/6           44/ 19          04/109

          92/6          88/5           20/ 15          30/113

         30/5          92/5           77/ 13          11/106

         13/5          12/8           66/ 12          14/102

          05/8          33/6           08/ 15          07/136

         27/7          42/5           37/ 19          04/118

        02/6          13/5           14/ 17          44/131

        07/5          13/8           55/ 14          21/103

        21/4          13/7           06/ 16          40/115

        01/5          38/7           11/ 16          74/136

         03/7          92/5           91/ 14          07/123

        05/6          21/6           93/ 14          79/103

         11/4          04/6           11/ 19          41/113

         17/8          05/5           28/ 18          05/119

         01/7          45/7           41/ 17          55/97

          13/8          62/4           12/ 19          27/106

          25/7          21/4           09/ 21          41/117

         11/4          37/4           92/ 22          12/134

         58/4          07/5           93/ 21          05/111

          02/8          13/5           41/ 20          14/102

          06/10         07/4           14/ 23         71/115

         27/5           52/6           82/ 9           63/154

         04/4           17/6            42/ 9          07/149

         28/4           91/5            94/ 8          18/125

          33/4           62/5            06/ 8          71/98

          06/5           27/6            85/ 7          41/115

          87/5           92/5            09/ 8          07/117

          04/5           39/5            68/ 7          11/125

         74/5           05/5            14/ 8          47/102

         92/3           61/5            36/ 7          62/105

         81/4           03/5            06/ 7          53/110

         79/5           13/5            36/ 7          09/122

         95/4           03/5            96/ 7          04/107

 

02/5

33/4

85/ 7

50/116

نتایج حاصل دقت قابل­قبول مدل انتخابی و هم­چنین فرایند برازش ثابت­های هامیلتونین را نشان می­دهند. لازم به توضیح است که تفاوت­های جزیی حاصل در مقادیر ثابت­های گزارش شده در این مقاله و مرجع [10] به­دلیل روش متفاوت برازش و هم­چنین استفاده از اطلاعات تجربی جدیدتر می­باشد. هم­چنین تفاوت در مقدار کمیت  به­دلیل تفاوت در تعداد تراز انتخابی این مقاله نسبت به مرجع [10] است. هم­چنین در این کار مقادیر مطلق گزارش شده در مراجع [21-22] به­عنوان ورودی برنامه برازش درنظر گرفته شده و خطای ناشی از
روش­های اندازه­گیری در محاسبات لحاظ نشده­اند. مدل انتخابی به خوبی تغییر در آرایش ترازها و پایین آمدن ترازهای باند بتا نسبت به باند گاما را نیز توصیف می­نماید. کاهش دقت نتایج مدل انتخابی برای دو هسته و  را می­توان به کاهش میزان تغییر شکل چهارقطبی و بروز نشانه­های شکل کروی در این هسته­ها نسبت داد. این نتیجه امکان استفاده از این مدل را برای سایر هسته­های تغییر شکل­یافته و با آن دسته از هسته­های واقع در ناحیه گذار فازی- شکلی بین حدود (5)U و (3)SU مدل اندرکنش بوزونی نشان می­دهد. در ادامه به بررسی رفتار آماری این هسته­ها در قالب دنباله­های مختلف پرداخته شده تا با استفاده از این معیار نیز میزان انطباق ارزیابی شود.

 

3.2 بررسی رفتار آماری هسته­های تغییر شکل­یافته

برای بررسی رفتار آماری هسته­های انتخابی در قالب آمار نزدیک­ترین فاصله بین ترازی، ترازهای انرژی تجربی و
هم­چنین نتایج مدل دینامیکی (3)SU در دنباله­های مختلف طبقه­بندی می­شوند. سپس با استفاده از فرایند واپیچش، دنباله­های بهنجار شده برای ارزیابی به دست می­آیند. با توجه به نتایج مطالعات مشابه، رفتار آماری دنباله­های مختلف به صورت بینابینی دو حد هم­بسته و غیرهم­بسته حاصل می­شود. بدین­دلیل، ارزیابی رفتار آماری یک مجموعه بر اساس مقدار پارامتر تابع توزیع بری– روبنیک به­صورت نسبی و در شرایط مقایسه­ای با سایر دنباله­ها صورت می­پذیرد. هم­چنین با توجه به نتایج بسیار دقیق روش تخمین بیشینه شانس نسبت به سایر روش­های رایج، تنها نتایج این روش برازش در محاسبات ذکر می­گردد.

3.2.1 وابستگی رفتار آماری به باندهای دورانی و اسپین حالات

تمام ترازهای مورد مطالعه از باندهای مختلف پایه، گاما و بتا هسته­های فهرست شده در جدول 1 به­صورت دنباله­های مجزا دسته­بندی شده و سپس واپیچش گردید. بعد از اعمال تابع توزیع بری- روبنیک و استفاده از روش تخمین بیشینه شانس در فضای برنامه متلب[17]، نتایج برای این دنباله­ها حاصل گردید که در جدول 2 گزارش شده است.

نتابج به دست آمده انطباق پیش­بینی­های آماری حاصل از تحلیل اطلاعات تجربی و محاسبات نظری را نشان می­دهد. هم­چنین مقادیر کوچک خطای نتایج حاصل، دقت بالای روش تخمین بیشینه شانس را تأیید می­نماید.

تحلیل آماری صورت گرفته کاهش میزان هم­بستگی آماری را با افزایش مقدار اسپین ترازهای مورد مطالعه در هر سه باند انرژی نشان می­دهد. این نتیجه را می­توان بر اساس اثر ابوالمجد- وبدنمولر[18] ]11، 14[ یعنی تأثیر اندرکنش­های ثانویه در طیف انرژی، توجیه کرد. بر پایه این نظریه، با اضافه شدن اندرکنش­های متعدد، الگوی ترازها به­طور کامل از پیکربندی (1+L)L پیروی نکرده و از این­رو میزان هم­بستگی آماری کاهش می­یابد. هم­چنین نتابج حاصل هم­بستگی آماری بیش­تر ترازهای انرژی باند برانگیخته گاما را نسبت به ترازهای باندهای پایه و بتا نشان می­دهد. این نتیجه را می­توان بر اساس ارتعاشات[19] متفاوت در دو راستای شعاعی و زاویه­ای ارزیابی نمود که به­ترتیب سبب تولید باندهای بتا و گاما می­شود. ارتعاشات شعاعی سبب تغییرات قابل­توجه­تر در سطوح انرژی هسته­ها شده و این سبب کاهش میزان هم­بستگی آماری ترازها می­شود ]23-24[.

 

جدول 2. هم­بستگی آماری ترازهای مختلف در باندهای انتخابی. q مقدار پارامتر تابع توزیع بری- روبنیک و N تعداد ترازهای مورد مطالعه می­باشد

تراز

N

qExp.

qcal.

                         51                 07/0± 31/0        04/0± 32/0

                         51                 05/0± 38/0        09/0± 37/0

                         51                 03/0± 11/0        04/0± 10/0

                         51                 06/0± 21/0         03/0± 22/0

                         51                 11/0± 72/0          06/0± 71/0

                         51                 09/0± 81/0         05/0± 80/0

          

     51

10/0± 89/0

   11/0± 87/0

3.2.2 وابستگی رفتار آماری به نحوه پیکربندی باندهای انرژی دورانی

در حالت معمول، به­دلیل انرژی بیش­تر ناشی از ارتعاشات شعاعی مولد باندهای دورانی بتا، ترازهای انرژی هسته­های تغییر شکل­یافته به­ترتیب باند پایه، باند گاما و در نهایت باند بتا می­باشد. ارزیابی طیف تجربی هسته­های تغییر شکل­یافته وجود یک جابه­جایی در پیکربندی انرژی و پایین آمدن باند انرژی بتا نسبت به باند گاما را نشان می­دهد. این پدیده را می­توان ناشی از ترکیب تقارن­ها و لذا هم­زیستی شکل­ها[20] در ساختار
هسته­های مختلف دانست. حرکت ترازها و جای­گیری در باندهای مختلف از نشانه­های دیگر این پدیده می­باشند. این دسته از هسته­ها با علامت * در جدول 1 نمایش داده شده و تحت عنوان مختل­شده[21] نام­گذاری می­شوند؛ در حالی­که
هسته­های دارای پیکربندی معمول، هسته­های عادی
طبقه­بندی می­شوند. با توجه به تعداد 27 هسته با پیکربندی عادی و 24 هسته با پیکربندی مختل شده و هم­چنین لزوم وجود حداقل 25 تراز با تقارن­های مشابه، امکان تحلیل آماری ترازهای باندهای متفاوت به­صورت مجزا امکان­پذیر نمی­باشد. برای حل این مشکل دو مجموعه تحت عنوان دنباله +2 دربرگیرنده ترازهای   و  و سپس دنباله +4 مشتمل بر ترازهای ، و  تشکیل گردید. بعد از فرایند واپیچش و تعیین پارامتر تابع توزیع بری- روبنیک با استفاده از روش بیشینه شانس، نتایج محاسبه شد که در جدول 3 فهرست شده است.

 

جدول 3. هم­بستگی آماری ترازهای مختلف در باندهای انتخابی. q مقدار پارامتر تابع توزیع بری- روبنیک و N تعداد ترازهای مورد مطالعه می­باشد

پیکربندی

دنباله

N

qExp.

هسته­های عادی               +2                   153              04/0± 72/0

                                  +4                   153              10/0± 86/0

هسته­های مختل شده       +2                   153              03/0± 89/0

     

         +4

153

08/0± 95/0

 

نتابج این جدول با استفاده از تحلیل اطلاعات تجربی حاصل شده و نتایج حاصل از ارزیابی اطلاعات حاصل از مدل نظری به­دلیل تشابه ذکر نمی­گردد. رفتار عمومی دنباله­های مورد مطالعه در حالت عمومی به­صورت غیرهم­بسته حاصل می­شود. در تشابه با نتیجه جدول 2، با افزایش اسپین در هر دو پیکربندی، میزان هم­بستگی کاهش یافته و رفتار سیستم­ها نزدیک به حد پواسونی حاصل می­شود. هم­چنین کاهش میزان هم­بستگی آماری برای آن دسته از هسته­ها با پیکربندی مختل­شده بسیار روشن است. تغییر محل ترازها و لذا ایجاد اختلال در الگوی قرارگیری ترازها را می­توان منشأ این
غیرهم­بستگی معرفی نمود ]25-26 .[تغییر محل ترازها ناشی از ترکیب تقارن­های مختلف در سیستم بوده و این اختلال تأثیر مستقیم بر هم­بستگی آرایش­های ترازی و در نتیجه افت و خیز آماری[22] دارد.

 

3.2.3 وابستگی رفتار آماری به جرم

مطالعات مختلف پیرامون رفتار آماری هسته­های مختلف همراه با بررسی اثرات نواحی جرمی متفاوت بر ویژگی­های آماری
می­باشد. کاهش میزان هم­بستگی آماری برای هسته­های سنگین در مقایسه با هسته­های سبک، نتیجه اساسی چنین ارزیابی­هایی است که تحت عنوان اثرات لایه­ای[23] شناخته
می­شود. افزایش هم­بستگی در سیستم­های هسته­ای ناشی از انطباق پیکربندی ترازهای انرژی بر آرایش­های منطبق بر یک تقارن می­باشد. در این بخش از مطالعه، هسته­های انتخابی در بازه­های عدد جرمی مساوی با 10 = AΔ، در محدوده جرمی 250 ≥   A ≥ 152  طبقه­بندی گردیدند. با توجه به تعداد ترازهای موجود، تمام ترازهای هفت­گانه اشاره شده در جدول 2 به­صورت یک دنباله در نظر گرفته شد. پس از فرایند واپیچش و تحلیل با تابع توزیع بری– روبنیک، نتایج به دست آمد که در شکل 1 نمایش داده شده است.

نتایج نشان­دهنده رفتار آماری غیرهم­بسته هسته­های سنگین است. هم­چنین افزایش مقدار خطای محاسبات (خطوط عمودی) برای محدوده جرمی 200 و 190 = A روشن است؛ این نتیجه به­دلیل کم بودن تعداد هسته­ها و از این­رو تعداد تراز در دنباله­های انتخابی می­باشد. افزایش هم­بستگی ترازها در محدوده جرمی 180=A را می­توان بر اساس افزایش میزان تغییر شکل هسته­های این محدوده و فاصله گرفتن از آرایش لایه­ای ارزیابی نمود ]27-28[. برای نتیجه­گیری
کامل­تر در این خصوص، بررسی تمام ترازهای هسته­های انتخابی پیشنهاد می­شود که در مطالعات بعدی به آن پرداخته خواهد شد.

 

3.2.4 وابستگی رفتار آماری به نیمه­عمر حالت پایه

اثرات ناشی از پایداری یا رادیواکتیو بودن هسته­ها بر ترازهای انرژی و رفتار آماری آن­ها در مقالات مختلف ارزیابی شده است ]29-30[. در این مطالعه وابستگی مشابه افت و خیز
آماری­های انتخابی بررسی شده است. بدین­منظور و برای تولید دنباله­های مناسب ارزیابی آماری، تمام ترازها با اسپین­های غیرمشابه ولی پاریته یکسان، با توجه به نیمه­عمر حالت پایه طبقه­بندی شدند. با این دیدگاه، یک دنباله از هسته­های پایدار و سه دنباله از هسته­های رادیواکتیو با نیمه­عمرهایی از مرتبه سال، روز  و دقیقه به دست آمد. پس از انجام فرایند برازش تابع توزیع بری- روبنیک، نتایج حاصل در شکل 2 نمایش داده شده است.

 

140

160

180

200

220

240

A (عدد جرمی )

2/0

4/0

6/0

8/0

1

رفتار آماری هسته­های تغییرشکل یافته کشیده در محدوده­های جرمی مختلف

 

شکل 1. تغییرات رفتار آماری هسته­های تغییر شکل­یافته محوری در
بازه­های جرمی متفاوت. خطوط عمودی میزان خطای نتایج را نشان
می­دهد.

 

Stable nuclei

Year ~ 2/1T

day ~ 2/1T

 

minute ~ 2/1T

 

مقادیر 2/1T (نیمه­عمر) حالت پایه

2/0

4/0

6/0

8/0

1

رفتار آماری هسته­های تغییرشکل یافته کشیده در محدوده­های نیمه­عمری مختلف

 

0

 

شکل 2. تغییرات رفتار آماری هسته­های انتخابی براساس نیمه­عمر تراز پایه. خطوط عمودی میزان خطای نتایج را نشان می­دهد.

 

نتایج حاصل از تحلیل ترازهای انرژی تجربی هسته­های تغییر شکل­یافته در شکل 2، کاهش میزان هم­بستگی آماری را برای هسته­های رادیواکتیو با نیمه­عمرهای کوتاه نشان می­دهد. این نتیجه را می­توان بر پایه شکل و از این­رو تقارن­های قوی موجود در هسته­های پایدار و با نیمه­عمرهای طولانی ارزیابی نمود. هم­چنین می­توان وابستگی­های آماری برای این
هسته­های رادیواکتیو را بر پایه مدهای واپاشی بررسی نمود. این بررسی امکان تعریف رابطه بدیهی بین نیروهای مؤثر در ساختار سیستم و ویژگی­های تقارنی آن­ها حاصل می­نماید. به دلیل کمبود تعداد ترازهای انتخابی از هسته­های این مطالعه و لذا عدم امکان تولید دنباله­های آماری قابل­اعتماد، امکان چنین ارزیابی در این مطالعه وجود نداشت. در مطالعات بعدی به این بحث پرداخته خواهد شد.

 

4. بحث و نتیجه­گیری

در این مطالعه هسته­های تغییر شکل­یافته زوج- زوج در محدوده جرمی 250 ≥ A ≥ 152 مورد بررسی قرار گرفت. مدل دینامیکی جزیی اندرکنش بوزونی در حد تقارنی (3)SU برای محاسبه ترازهای انرژی باندهای مختلف این هسته­ها به کار برده شد. توانایی مدل انتخابی برای توصیف طیف انرژی این هسته­ها و حذف تبهگنی ذاتی موجود در مدل اندرکنش بوزونی برای هسته­های دورانی روشن است. این مدل جابه­جایی باندهای انرژی و قرار گرفتن باند گاما در انرژی بالاتر نسبت به باند بتا را نیز به درستی توصیف می­نماید. هم­چنین افت و خیز آماری این هسته­ها در قالب دنباله­های مختلف ارزیابی شده و تأثیر پارامترهای مختلف بر هم­بستگی آماری ترازهای نوارهای دورانی بررسی گردید. نتایج حاصل از تحلیل اطلاعات تجربی و نتایج محاسبات نظری، افزایش هم­بستگی آماری ترازهای انرژی باند دورانی گاما را نشان می­دهد؛ می­توان این نتیجه را بر اساس سهم کوچک­تر ارتعاشات زاویه­ای در تغییر شکل ساختار هسته و از این­رو حفظ پیکربندی دورانی ارزیابی نمود. نتایج حاصل تأثیر تقارن­های مختلف بر رفتار آماری این هسته­ها را نشان داده و افزایش هم­بستگی آماری ترازها برای آن دسته از سیستم­های دارای پیکربندی و تقارن قوی را پیشنهاد می­دهد. از طرفی تأثیر پدیده هم­زیستی شکل­ها  و تغییر محل ترازهای دورانی باند بتا نسبت به آرایش معمول هسته­های تغییر
شکل­یافته، سبب کاهش هم­بستگی آماری در طیف انرژی این هسته­ها می­شود. این نتیجه در کنار افزایش میزان تغییر شکل چهارقطبی در این هسته­ها را می­توان بر پایه اندرکنش­های مؤثر در ساختار هسته ارزیابی کرد. نیروی جفت­شدگی باعث افزایش هم­بستگی آماری شده و از سوی دیگر اندرکنش­های چهارقطبی را می­توان عامل حرکت رفتار آماری سیستم­ها به سمت حد پواسونی تعریف نمود. نتایج این مطالعه را می­توان برای طبقه­بندی آماری هسته­های مختلف و نیز بررسی اثر پتانسیل­های مختلف در هامیلتونین­های سیستم­های هسته­ای استفاده نمود.

 

تشکر و قدردانی

نویسندگان مقاله مراتب تقدیر و تشکر خود را از آقای دکتر جواد فولادی به­دلیل کمک­های صورت گرفته برای بخش تقارن­های دینامیکی جزیی اعلام می­نمایند. این مطالعه با پشتیبانی مالی مدیریت امور پژوهشی دانشگاه تبریز انجام شده است.



[1]. Bohr-Mottelson Geometric Model (BMM)

[2]. Mean-Field Model

[3]. Interacting Boson Model (IBM)

[4]. Random Matrix Theory (RMT)

[5]. Ensembles

[6]. Sequence

[7]. Iachello and Arima

[8].(در واحد تکانه زاویه­ای ħ)

[9]. Warner- Casten and Davidson

[10]. Leviatan

[11]. Nearest Neighbor Spacing Distribution (NNSD)

[12]. Unfolding

[13]. Berry-Robnik Distribution

[14]. Least Square Fitting (LSF)

[15]. Bayesian Estimation Method (BEM)

[16]. Maximum Likelihood Estimation (MLE)

[17]. Matlab Software

[18]. Abul- Magd – Weidenmuller Effect

[19]. Vibration

[20]. Shape Coexistence

[21]. Disordered

[22]. Spectral Fluctuations

[23]. Shell Model Effect

1. R.K. Sheline, vibrational states in deformed even-even nuclei, Rev. Mod. Phys. 32, 1 (1960).

 

2. J.B. Gupta, Global view of the rotational structure of the Kπ = 2+γ-bands, Eur. Phys. J. A, 55, 122 (2019).

 

3. A.V. Afanasjev, N. Itagaki, D. Ray, Rotational excitations in near neutron-drip line nuclei: The birth and death of particle-bound rotational bands and the extension of nuclear landscape beyond spin zero neutron drip line, Phys. Lett. B, 794, 7 (2019).

 

4. J.P. Elliott, Collective motion in the nuclear shell model. I. Classification schemes for states of mixed configurations, Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A. 245, 128 (1958).

 

5. G. Thiamova, D.J. Rowe, J.L. Wood, Coupled-SU(3) models of rotational states in nuclei, Nuclear Phys. A, 780, 112 (2006).

 

6. F. Iachello, A. Arima, The Interacting Boson Model (Cambridge U. Press, Cambridge, 1987).

 

7. R.F. Casten, D.D. Warner, The interacting boson approximate, Rev. Mod. Phys. 60, 389 (1988).

 

8. D.D. Warner, R.F. Casten, W.F. Davidson, Interacting boson approximation description of the collective states of 168Er and a comparison with geometrical models, Phys. Rev. C, 24, 1713 (1981).

 

9. A. Leviatan, Partial dynamical symmetries, Prog. Part. Nucl. Phys. 66, 93 (2011).

 

10. N. Fouladi, J. Fouladi, H. Sabri, Investigation of low-lying energy spectra for deformed prolate nuclei via partial dynamical SU(3) symmetry, Eur. Phys. J. Plus, 130, 112 (2015).

 

11. H.A. Weidenmüller, G.E. Mitchell, Random matrices and chaos in nuclear physics: Nuclear structure, Rev. Mod. Phys. 81, 539 (2009).

 

12. T.A. Brody, et al, Random-matrix physics: spectrum and strength fluctuations, Rev. Mod. Phys. 53, 385 (1981).

 

13. J.F. Shriner, G.E. MitchellT, T. Von Egidy, Fluctuation properties of spacing of low-lying nuclear levels, Z. Phys. A. 338, 309 (1991).

 

14. A.Y. Abul-Magd, et al, Statistical analysis of composite spectra, Ann. Phys. 321, 560 (2006).

 

15. A. Brody, A statistical measure for the repulsion of energy levels, Lett. Nuovo Cimento. 7, 482 (1973).

 

16. M.V. Berry, M. Robnik, Semi-classical level spacing when regular and chaotic orbits coexist, J. Phys. A. 17, 2413 (1984).

 

17. M.A. Jafarizadeh, et al, Investigation of spectral statistics of nuclear systems by maximum likelihood estimation method, Nucl. Phys. A. 891, 29 (2012).

 

18. T. Von Egidy, H.H. Schmidt, A.N. Behkami, Nuclear level densities and level spacing distributions: Part II, Nucl. Phys. A. 481, 189 (1988).

 

19. R.A. Molina, Pairing and spectral statistics of low energy levels, Eur. Phys. A. 28, 125 (2006).

 

20. A. Jalili Majarshin, et al, Systematic analysis on spectral statistics of odd-A nuclei, Annals of Physics, 407, 250 (2019).

 

21. National Nuclear Data Center (Brookhaven National laboratory), chart of nuclides. (http://www. nndc.bnl.gov/chart/reColor.jsp?newColor=dm)

 

22. Live chart, table of nuclides, http://www.nds. iaea. org.

 

23. J.E. Garcia-Ramos, A. Leviatan, P. Van Isacker, Partial Dynamical Symmetry in Quantum Hamiltonians with Higher-Order Terms,  Phys. Rev. Lett. 102, 112502 (2009).

 

24. N. Whelanm, Y. Alhassid, A. Leviatan, Partial dynamical symmetry and the suppression of chaos, Phys. Rev. Lett. 71, 2208 (1993).

 

25. V. Paar, D. Vorkapic, Broken isospin symmetry in the shell model and chaotic behavior, Phys. Lett. B. 205, 7 (1988).

 

26. V. Paar, D. Vorkapic, Quantum chaos for exact and broken K quantum number in the interacting-boson model, Phys. Rev. C. 41, 2397 (1990).

 

27. P.W. Zhao, Multiple chirality in nuclear rotation: A microscopic view, Phys. Lett. B. 773, 1 (2017).

 

28. Yu Zhang, Qiu-Yue Li, Xiao-Xia Wang, Emergent spectral degeneracies in the quantum phase transitions in the interacting boson model, Phys. Rev. C. 93, 054330 (2016).

 

29. H. Sabri, Spectral statistics of rare-earth nuclei:

investigation of shell model configuration effect, Nucl. Phys. A. 941, 364 (2015).

 

30. H. Sabri, R. Malekzadeh, Investigation of decay modes and stability effects on spectral Statistics of different nuclei, Nucl. Phys. A. 963, 78 (2017).